Эратосфен и его географические открытия

Работает

Эратосфен был одним из самых выдающихся ученых своего времени и написал работы, охватывающие обширную область знаний до и во время его пребывания в Библиотеке. Он писал на многие темы — по географии, математике, философии, хронологии, литературной критике, грамматике, поэзии и даже старинным комедиям. К сожалению, после разрушения Александрийской библиотеки от его творчества не осталось никаких документов .

Титулы

• Платоникос
• Гермес
• Эригон
• Хронографии
• Олимпийские Победители
• Περὶ τῆς ἀναμετρήσεως τῆς γῆς ( Об Измерении Земли ) (потеряно, резюмировано Клеомедом )
• Гεωγραϕικά ( Geographika ) (потеряно, критикуется Страбоном )
• Арсиноя (воспоминания царицы Арсинои ; утеряна; цитируется Афинеем в Deipnosophistae )
• Аристон (о пристрастии Аристона Хиосского к роскоши); потерянный; цитируется Афинеем в Deipnosophistae )
• Катастеризм ( Katasterismoi ), коллекция эллинистических мифов о созвездиях , был приписан Эратосфен.

Эратосфен

Эратосфен (ок. 275 – 194 до н.э.), один из
самых разносторонних ученых античности. Особенно прославили Эратосфена труды
по астрономии, географии и математике, однако он успешно трудился и в
области филологии, поэзии, музыки и философии, за что современники дали ему
прозвище Пентатл, т.е. Многоборец. Другое его прозвище, Бета, т.е. «второй»,
возможно, также не содержит ничего уничижительного: им желали показать, что
во всех науках Эратосфен достигает не высшего, но превосходного результата.

Эратосфен родился в Африке, в
Кирене. Учился сначала в Александрии, а
затем в Афинах у известных наставников, поэта Каллимаха, грамматика Лисания,
а также философов – стоика Аристона и платоника Аркесилая. Вероятно, именно
благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов ок. 245 до
н.э. Эратосфен получил от Птолемея III Эвергета приглашение вернуться в
Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить
Александрийскую библиотеку. Эратосфен принял это предложение и занимал
должность библиотекаря вплоть до своей кончины. Его научные таланты
удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который
посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. Метод).

Сочинения Эратосфена не сохранились, мы имеем от них лишь фрагменты.
Трактаты Эратосфена Удвоение куба и О среднем были посвящены решению
геометрических и арифметических задач, в Платонике он обращается к
математическим и музыкальным основам платоновской философии. Самым
знаменитым математическим открытием Эратосфена стало т.н. «решето», с
помощью которого находятся простые числа. Эратосфен является
основоположником научной географии. В его Географии в 3 книгах содержалась
история географических открытий, а также рассматривался ряд физических и
математических проблем, связанных с географией, включая указание на
сферическую форму Земли и описание ее поверхности.

Однако самым известным достижением Эратосфена в области географии был
изобретенный им способ измерения величины земного шара, изложению которого
был посвящен трактат Об измерении Земли. Здесь было описано впервые
отмеченное в науке одновременное наблюдение и проведение измерений в столь
отдаленных точках, как Александрия и Сиена (совр. Асуан, Египет). Хотя
остается спорным, получилось ли у Эратосфена в итоге 250 000 стадий
(согласно Клеомеду) или 252 000 (по сообщению Страбона и Теона Смирнского),
в любом случае этот результат замечателен – диаметр Земли оказывается всего
лишь на 80 км меньше, чем фактический полярный диаметр. В этой же работе
были рассмотрены и астрономические задачи, такие, как размер Солнца и Луны и
расстояния до них, солнечные и лунные затмения и продолжительность дня в
зависимости от географической широты.

Эратосфена можно считать также основателем научной хронологии. В своих
Хронографиях он пытался установить даты, связанные с политической и
литературной историей Древней Греции, составил список победителей
Олимпийских игр. В трактате О древней комедии, где анализировались
произведения афинских драматургов, Эратосфен выступил как литературный
критик и филолог. Эратосфен написал также поэму Гермес, повествующую о
рождении, подвигах и гибели бога, до нас дошли ее фрагменты. Другой короткий
эпос, Гесиод, посвящен смерти поэта и каре, постигшей его убийц. Эратосфен
написал также трактат Катастеризмы – описание созвездий и изложение
посвященных им мифов (сохранившееся сочинение под таким названием вызывает
сомнения в смысле подлинности). Эратосфену принадлежал еще ряд работ по
истории и философии, которые не сохранились.

Использованы материалы энциклопедии «Мир вокруг нас».

Географические открытия

Эратосфен был очень увлечен географией. Следует начать с того, что сам термин «география» был создан именно Эратосфеном. С древнегреческого языка это определение можно перевести как «описание Земли». Киренский ученый настаивал, что Земля, как объект исследования, должна рассматриваться полностью, со всеми огромными пустошами, а не только те ее территориальные местности, которые уже были заселены людьми.

Одной из главных научных работ его жизни является большой трехтомный труд, имеющий название «География», посвященный детальному обзору опыта, приобретенного отважными мореплавателями и путешественникам, сумевшими побывать не только в других странах, но и на отдаленных континентах и отразивших это в своих докладах.

Также трехтомник содержит многочисленные математические расчеты, подтверждающие факт того, что Земля не стоит на трех слонах и черепахе, а является шарообразным космическим телом.

К другим достижениям Эратосфена в сферах географии и астрономии относят:

• Разработку темы пропорций и геометрических построений, без которых невозможно представить современный географический контурный атлас.
• Написание книги «Катастеризмы», в которой он собрал все известные науке созвездия и отдельные звезды, входящие в их границы, как класс небесных светил.
• Изобретение армиллярной сферы — инструмента, использующегося для установления экваториальных координат.
• Вычисление градуса угла, образованного пересечением тропика и экватора. Он считал, что соотношение этих географических явлений составляет 11 к 83 от 180 градусов.
• Предположение о том, что фактическая длительность светового дня на разных широтах может значительно колебаться.

Биографическая справка

Основным источником является посвященная ему заметка в Суде . Другая биографическая информация исходит от Страбона ( I , 21), Дионисия Кизикского ( греческая антология , VII , 78), Люсьена ( Longues Vies , 27), Витрувия (IX, 1), Цензорина (XV, 2), Афенеи (VII). , 26), Климента Александрийского ( Строматы , I, 16) и Светония ( Граммэрианцы и риторы , 10).

Возникает во время 126- й олимпиады (между 276 и272 г. до н.э. Ж.-К.). Он сын Аглаоса или Амвросия, родом из Кирены . В Афинах он посещал дворы портика , затем дворы Арсилауса де Питана . Он был учеником Аристона Хиосского , грамматика Лисиана из Кирены (автора комментариев о Гомере ) и поэта Каллимаха . Таким образом, он получил эклектическое и интеллектуальное образование в нескольких областях.

Эратосфен был назначен главой Александрийской библиотеки около 245 или 234 по просьбе Птолемея III , фараона в Египте , и был воспитателем его сына Птолемея IV . Его особенно прозвали « Эстрадой  » (потому что он часто был вторым в интеллектуальных дисциплинах), «новым Платоном  » или «Совершенным атлетом» (в отношении пяти древних спортивных дисциплин, но, возможно, это следует рассматривать именно так. ирония). Он поговорил с Архимедом, который хвалит его за интеллектуальные качества ( Вступительное письмо к методу ). Его ученики — Аристофан Византийский , Мнасеас  (en) , Менандр и Аристис .

Он жил до времен Птолемея V, с которым общался. Он позволил себе умереть от голода в возрасте 80 лет (между и190 г. до н.э. Ж.-К.), потому что, ослеп, он уже не мог любоваться звездами.

Он известен тем , что является первым , чей метод измерения окружности от Земли известно. Полученное значение трудно оценить с точностью из-за неопределенности метрического эквивалента используемой единицы, но оно относительно близко к реальности. В его честь был назван астероид (3251) Эратосфен , лунный кратер Эратосфен, а также высокая батиметрическая зона у южного Кипра .

Научные труды: математика

Из сочинений, посвященных математическим проблемам, в полном составе до наших дней дошло лишь письмо, обращенное к царю Птолемею, в котором ученый рассказывает об удвоении куба и описывает прибор, вошедший в историю науки под названием мезолябия.

О других математических сочинениях и о том, что открыл Эратосфен в математике, мы можем судить лишь по отрывочным сведениям из сторонних источников, таких как труды Паппа и Евтокия, один из которых ссылается на работы старшего коллеги, а второй и вовсе цитирует Эратосфена.

Есть, однако, одно довольно любопытное сочинение, о котором европейская наука узнала от последователя среднего платонизма Теона Смирнского. В своем сочинении средневековый ученый упоминает работу «Платоник», в которой Эратосфен рассуждает о пропорциях и отношениях равенства.

Стоит отметить, что труды ученого были крайне популярны у последователей платонизма в lll веке нашей эры. Например, Никомах Герасский, известный как математик и теоретик музыки, в своем сочинении «Введение в арифметику» довольно пространно цитирует неизвестное сочинение Эратосфена, используя его имя в качестве неоспоримого авторитета как в математике, так и в гармонии, и поэтике.

Говоря о том, что Эратосфен открыл и в каком году, нельзя не упомянуть так называемое решето Эратосфена, которое представляет собой алгоритм для нахождения простого числа в любом заранее заданном пределе.

Таблица простых чисел

Простые числа, для удобства их дальнейшего использования, записывают в таблицу, которую называют таблицей простых чисел. Ниже представлена таблица простых чисел до 1 000.

Возникает логичный вопрос: «Почему мы заполнили таблицу простых чисел только до 1 000, разве нельзя составить таблицу всех существующих простых чисел»?

Ответим сначала на первую часть этого вопроса. Для большинства задач, при решении которых придется использовать простые числа, нам будет вполне достаточно простых чисел в пределах тысячи. В остальных случаях, скорее всего, придется прибегать к каким-либо специальным приемам решения. Хотя, несомненно, мы можем составить таблицу простых чисел до сколь угодно большого конечного целого положительного числа, будь то 10 000 или 1 000 000 000, в следующем пункте мы поговорим о методах составления таблиц простых чисел, в частности, разберем способ, получивший название .

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство.

Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a. Докажем, что b – простое число методом от противного.

Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b₁), который отличен как от 1, так и от b. Если также учесть, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого (это мы знаем из свойств делимости), то должно выполняться условие 1<b₁<b.

Так как число a делится на b по условию, и мы сказали, что b делится на b₁, то понятие делимости позволяет говорить о существовании таких целых чисел q и q₁, что a=b·q и b=b₁·q₁, откуда a= b₁·(q₁·q). Из правил умножения целых чисел следует, что произведение двух целых чисел есть целое число, тогда равенство a=b₁·(q₁·q) указывает на то, что b₁ является делителем числа a. Учитывая полученные выше неравенства 1<b₁<b, мы получаем противоречие условию, что b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Теорема.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство.

Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p₁, p₂, …, p_n. Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.

Рассмотрим число, p равное p₁·p₂·…·p_n+1. Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p₁, p₂, …, p_n. Если число p — простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его p_n+1). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p₁, p₂, …, p_n.

Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p₁·p₂·…·p_n делилось бы на p_n+1. Но на p_n+1 делится и число p, равное сумме p₁·p₂·…·p_n+1. Отсюда следует, что на p_n+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100, 1 000, 10 000 и т.д.

Различные оптимизации решета Эратосфена

Самый большой недостаток алгоритма — то, что он «гуляет» по памяти, постоянно выходя за пределы кэш-памяти, из-за чего константа, скрытая в , сравнительно велика.

Кроме того, для достаточно больших узким местом становится объём потребляемой памяти.

Ниже рассмотрены методы, позволяющие как уменьшить число выполняемых операций, так и значительно сократить потребление памяти.

Просеивание простыми до корня

Самый очевидный момент — что для того, чтобы найти все простые до , достаточно выполнить просеивание только простыми, не превосходящими корня из .

Таким образом, изменится внешний цикл алгоритма:

for (int i=2; i*i<=n; ++i)

На асимптотику такая оптимизация не влияет (действительно, повторив приведённое выше доказательство, мы получим оценку , что, по свойствам логарифма, асимптотически есть то же самое), хотя число операций заметно уменьшится.

Решето только по нечётным числам

Поскольку все чётные числа, кроме , — составные, то можно вообще не обрабатывать никак чётные числа, а оперировать только нечётными числами.

Во-первых, это позволит вдвое сократить объём требуемой памяти. Во-вторых, это уменьшит число делаемых алгоритмом операций примерно вдвое.

Уменьшение объёма потребляемой памяти

Заметим, что алгоритм Эратосфена фактически оперирует с битами памяти. Следовательно, можно существенно сэкономить потребление памяти, храня не байт — переменных булевского типа, а бит, т.е. байт памяти.

Однако такой подход — «битовое сжатие» — существенно усложнит оперирование этими битами. Любое чтение или запись бита будут представлять из себя несколько арифметических операций, что в итоге приведёт к замедлению алгоритма.

Таким образом, этот подход оправдан, только если настолько большое, что байт памяти выделить уже нельзя. Сэкономив память (в раз), мы заплатим за это существенным замедлением алгоритма.

В завершение стоит отметить, что в языке C++ уже реализованы контейнеры, автоматически осуществляющие битовое сжатие: vector<bool> и bitset<>. Впрочем, если скорость работы очень важна, то лучше реализовать битовое сжатие вручную, с помощью битовых операций — на сегодняшний день компиляторы всё же не в состоянии генерировать достаточно быстрый код.

Блочное решето

Из оптимизации «просеивание простыми до корня» следует, что нет необходимости хранить всё время весь массив . Для выполнения просеивания достаточно хранить только простые до корня из , т.е. , а остальную часть массива строить поблочно, храня в текущий момент времени только один блок.

Пусть — константа, определяющая размер блока, тогда всего будет блоков, -ый блок () содержит числа в отрезке . Будем обрабатывать блоки по очереди, т.е. для каждого -го блока будем перебирать все простые (от до ) и выполнять ими просеивание только внутри текущего блока. Аккуратно стоит обрабатывать первый блок — во-первых, простые из не должны удалить сами себя, а во-вторых, числа и должны особо помечаться как не простые. При обработке последнего блока также следует не забывать о том, что последнее нужное число не обязательно находится в конце блока.

Приведём реализацию блочного решета. Программа считывает число и находит количество простых от до :

const int SQRT_MAXN = 100000; // корень из максимального значения N
const int S = 10000;
bool nprimeSQRT_MAXN, blS;
int primesSQRT_MAXN, cnt;
 
int main() {
 
	int n;
	cin >> n;
	int nsqrt = (int) sqrt (n + );
	for (int i=2; i<=nsqrt; ++i)
		if (!nprimei) {
			primescnt++ = i;
			if (i * 1ll * i <= nsqrt)
				for (int j=i*i; j<=nsqrt; j+=i)
					nprimej = true;
		}
 
	int result = ;
	for (int k=, maxk=nS; k<=maxk; ++k) {
		memset (bl, , sizeof bl);
		int start = k * S;
		for (int i=; i<cnt; ++i) {
			int start_idx = (start + primesi - 1)  primesi;
			int j = max(start_idx,2) * primesi - start;
			for (; j<S; j+=primesi)
				blj = true;
		}
		if (k == )
			bl = bl1 = true;
		for (int i=; i<S && start+i<=n; ++i)
			if (!bli)
				++result;
	}
	cout << result;
 
}

Асимптотика блочного решета такая же, как и обычного решета Эратосфена (если, конечно, размер блоков не будет совсем маленьким), зато объём используемой памяти сократится до и уменьшится «блуждание» по памяти. Но, с другой стороны, для каждого блока для каждого простого из будет выполняться деление, что будет сильно сказываться при меньших размерах блока. Следовательно, при выборе константы необходимо соблюсти баланс.

Как показывают эксперименты, наилучшая скорость работы достигается, когда имеет значение приблизительно от до .

Улучшение до линейного времени работы

Алгоритм Эратосфена можно преобразовать в другой алгоритм, который уже будет работать за линейное время — см. статью «Решето Эратосфена с линейным временем работы». (Впрочем, этот алгоритм имеет и недостатки.)

Описание [ править ]

Кратер имеет четко очерченный круглый край, внутреннюю стену, центральные горные вершины, неровный пол и внешний извержения. У него нет собственной лучевой системы , но на него попадают лучи от выдающегося кратера Коперник на юго-западе.

Эратосфенский период период в лунной геологической шкале времени назван в честь этого кратера, хотя он не определяет начало этого периода времени. Считается, что кратер образовался около 3,2 миллиарда лет назад.

Под низкими углами наклона Солнца этот кратер выделяется из-за тени, отбрасываемой краем. Однако, когда Солнце находится прямо над головой, Эратосфен визуально сливается с окружающей средой, и наблюдателю становится труднее определить его местонахождение. Лучи Коперника проходят через эту область, и их более высокое альбедо служит своего рода маскировкой .

В 1851 году шропширский астроном Генри Блант построил модель поверхности Луны с изображением Эратосфена. Модель основана на наблюдениях, сделанных Блантом с помощью телескопа-рефлектора из его дома в Шрусбери, и в том же году была показана на Большой выставке в Лондоне.

В 1910–1920-х годах Уильям Х. Пикеринг заметил темные пятна в кратере, которые регулярно менялись в течение каждого лунного дня. Он выдвинул гипотезу о том, что эти пятна мигрируют по поверхности, что наводит на мысль о стадах малых форм жизни

Идея привлекла внимание прежде всего из-за репутации Пикеринга.

Детальная карта особенностей Mare Imbrium. Эратосфен отмечен буквой «L».

Удивительная история

Древнегреческий мыслитель изучал историю, философию, литературу и множество других дисциплин. Современники посмеивались над ним и считали дилетантом, поскольку, по их мнению, он интересовался всем, но толком не знал ничего. Однако ученого это не смущало. Эратосфен работал в египетской Александрии. Однажды, возвращаясь из своего музея, он повстречал путешественников, идущих из Сиены — города, расположенного южнее Александрии, на Северном тропике (современное название — Асуан). Те поделились с ученым любопытным наблюдением: когда они находились в Сиене (а это был самый длинный день в году), ни один предмет в городе не отбрасывал тень.

Эратосфен не мог оставить сказанное без внимания, поэтому спустя год посетил Сиену и убедился, что путники его не обманули. Он заглянул в глубочайший городской колодец и увидел: солнечные лучи достигают его дна, а также подметил, что светило в данный момент располагалось ровно над головой. В это же время в Александрии оно висело гораздо ниже и абсолютно все предметы, на которые падали лучи, отбрасывали небольшую тень. Такое простое наблюдение натолкнуло Эратосфена на мысль об определении размеров Земли.

Асимптотика

Докажем, что асимптотика алгоритма равна .

Итак, для каждого простого будет выполняться внутренний цикл, который совершит действий. Следовательно, нам нужно оценить следующую величину:

Вспомним здесь два известных факта: что число простых, меньше либо равных , приблизительно равно , и что -ое простое число приблизительно равно (это следует из первого утверждения). Тогда сумму можно записать таким образом:

Здесь мы выделили первое простое из суммы, поскольку при согласно приближению получится , что приведёт к делению на нуль.

Теперь оценим такую сумму с помощью интеграла от той же функции по от до (мы можем производить такое приближение, поскольку, фактически, сумма относится к интегралу как его приближение по формуле прямоугольников):

Первообразная для подынтегральной функции есть . Выполняя подстановку и убирая члены меньшего порядка, получаем:

Теперь, возвращаясь к первоначальной сумме, получаем её приближённую оценку:

что и требовалось доказать.

Более строгое доказательство (и дающее более точную оценку с точностью до константных множителей) можно найти в книге Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» (стр. 349).

дальнейшее чтение

• Aujac, Г. (2001). Eratosthene de Cyrène, le pionnier de la géographie . Париж: Издательство CTHS. 224стр.
• Балмер-Томас, Айвор (1939–1940). Избранные, иллюстрирующие историю греческой математики . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
• Дорофеева А.В. (1988). «Эратосфен (ок. 276–194 до н. Э.)». Мат. В школе (4): I.
• Ельнатанов Б.А. (1983). «Краткий очерк истории развития сита Эратосфена». Истор.-Матем. Исслед. (на русском). 27 : 238–259.
• Фрейзер, PM (1970). «Эратосфен Киренский». Труды Британской академии . 56 : 175–207.
• Фрейзер, PM (1972). Птолемеев Александрия . Оксфорд: Clarendon Press.
• Хонигманн, Э. (1929). Die sieben Klimata und die πολεις επισημοι . Eine Untersuchung zur Geschichte der Geographie und Astrologie in Altertum und Mittelalter. Гейдельберг: Университет Карла Винтера. 247 с.
• Кнаак, Г. (1907). «Эратосфен». Поли-Виссова VI : 358–388.
• Манна, Ф. (1986). «Пентатлос древней науки, Эратосфен, первый и единственный из« простых чисел ». Atti Accad. Понтаниана . Новая серия (на итальянском). 35 : 37–44.
• Muwaf, A .; Филиппу, А.Н. (1981). «Арабский вариант письма Эратосфена о средних пропорциях». J. Hist. Arabic Sci . 5 (1–2): 147–174.
• Никастро, Николас (2008). . Нью-Йорк: Издательство Св. Мартина. ISBN 978-0-312-37247-7.
• Маркотт, Д. (1998). «La Climatologie d’Ératosthène à Poséidonios: genèse d’une science humaine». Дж. Аргу, Дж. Я. Гийомен (ред.). Науки точные и прикладные науки в Александрии (III siècle av JC — Ier ap JC) . Сент-Этьен: Publications de l’Université de Saint Etienne: 263–277.
• Пфайффер, Рудольф (1968). . Оксфорд: Clarendon Press.
• Роулинз, Д. (1982). «Карта Эратосфена — Страбона Нила. Является ли это самым ранним сохранившимся экземпляром сферической картографии? Предоставляла ли она дугу 5000 стадиев для эксперимента Эратосфена?». Arch. Hist. Exact Sci . 26 (3): 211–219.
• Rosokoki, A. (1995), Die Erigone des Eratosthenes. Eine kommentierte Ausgabe der Fragmente , Гейдельберг: C. Winter-Verlag
• Щеглов, Д.А. (2004/2006). «Система семи климатов Птолемея и география Эратосфена». Geographia Antiqua 13 : 21–37.
• Страбон (1917). География Страбона . Гораций Леонард Джонс, пер. Нью-Йорк: Патнэм.
• Таламас, А. (1921). Географ д’Эратостен . Версаль.
• Вулфер, EP (1954). Эратосфен фон Кирена как Mathematiker und Philosoph . Гронинген-Джакарта.

Реализация

Сразу приведём реализацию алгоритма:

int n;
vector<char> prime (n+1, true);
prime = prime1 = false;
for (int i=2; i<=n; ++i)
	if (primei)
		if (i * 1ll * i <= n)
			for (int j=i*i; j<=n; j+=i)
				primej = false;

Этот код сначала помечает все числа, кроме нуля и единицы, как простые, а затем начинает процесс отсеивания составных чисел. Для этого мы перебираем в цикле все числа от до , и, если текущее число простое, то помечаем все числа, кратные ему, как составные.

При этом мы начинаем идти от , поскольку все меньшие числа, кратные , обязательно имеют простой делитель меньше , а значит, все они уже были отсеяны раньше. (Но поскольку легко может переполнить тип , в коде перед вторым вложенным циклом делается дополнительная проверка с использованием типа .)

При такой реализации алгоритм потребляет памяти (что очевидно) и выполняет действий (это доказывается в следующем разделе).

Заключение

Открытия Эратосфена внесли огромный вклад в науку и жизнь античного общества. После измерения окружности ученый произвел определение других параметров созданной им карты: расстояние между городами, торговыми путями, материками и островами. Он высчитал радиус планеты, оценил зависимость светового дня от ширины и долготы.

Изучив множество научных направлений, Эратосфен создал и ввел новое – географию. Сделанный им вклад стал решающим толчком в развитии картографии и астрономии. Тем не менее, эллин трудился в разных течениях и развивал Александрийскую библиотеку до потери зрения и смерти в 195 г. до н. э.